D-加群代数の Picard-Vessiot 理論に

おける Liouville 拡大

2009 年 1 月 30 日, 第２回つくば代数学ワークショップ天野勝利 (筑波大学数理物質科学研究科)

\underline{概略}

1. Liouville 拡大とは？ (ordinary differential case)

2. D-加群代数の PV 理論 (要点のみ)

3. 今回のポイント

4. アルチン単純 D-加群代数の Liouville 拡大

1. Liouville 拡大とは？

古典 Galois 理論でいうところの「冪根拡大」にあたる.

1.1. 定義

(K, ∂) が微分体 :⇔ \{ \begin{matrix}K : 体, \\ ∂ : K → K additive, \\ ∂(ab) = ∂(a)b + a∂(b) \\ for ^{∀}a, b ∈ K. \end{matrix}

K^{∂} := {a ∈ K | ∂(a) = 0} 定数体 (constants) 簡単のため１章では K^{∂} は標数 0 の代数閉体と仮定する.

L/K : 微分体の拡大が\underline{Liouville 拡大}とは, L^{∂} = K^{∂} かつ中間微分体の列 K = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ⋯ ⊂ L_{r} = L があって各 L_{i}/L_{i−1} (i = 1, …, r) が次のいずれかの形をしていることをいう:

(a) 有限次代数拡大,

(b) L_{i} = L_{i−1}(x), ∂(x) = ^{∃}a ∈ L_{i−1} (x = ∫ a),

(c) L_{i} = L_{i−1}(x), ∂(x)x^{−1} = ^{∃}a ∈ L_{i−1} (x = e^{∫ a}).

1.2. 可解性定理

\underline{命題.} L/K を PV 拡大, G(L/K) をその微分 Galois 群, G(L/K)^{∘} をその identity component とすると,

(a) L^{G(L/K)^{∘}} は L の中における K の代数閉包. とくに, L/K が有限次代数拡大 ⇔ G(L/K) が (離散) 有限群.

(b) L = K(x), ∂(x) ∈ K ⇔ G(L/K) = 𝔾_{a}.

(c) L = K(x), ∂(x)x^{−1} ∈ K ⇔ G(L/K) ↪ 𝔾_{m}. \underline{定理.} L/K を PV 拡大, G(L/K) をその微分 Galois 群とすると, 次は同値:

(i) L/K が Liouville 拡大. (ii) ある Liouville 拡大 L̃/K が存在して L ⊂ L̃. (iii) G(L/K)^{∘} が可解代数群. (iv) G(L/K)^{∘} が三角化可能代数群.

(v) ある閉部分群の normal chain

G(L/K)^{∘} = G_{1} ▷ G_{2} ▷ ⋯ ▷ G_{r} = {1}

があって, 各 G_{i}/G_{i−1} (i = 2, …, r) は 𝔾_{a} または 𝔾_{m}.

※ (iii) ⇔ (iv) は Lie-Kolchin の三角化可能定理

2. D-加群代数の PV 理論

・微分 PV 理論を, 差分 PV 理論や正標数の場合を含むように統一・拡張した.

・ D はある余可換な Hopf 代数.

2.1. Hopf 代数とは？

k を体とし, 以下すべて k 上で考える. A : algebra と algebra map Δ : A → A ⊗_{k} A, ε : A → k と anti-algebra map S : A → A があって, 次の (1)–(3) を満たすとき, (A, Δ, ε, S) を Hopf 代数という.

(1) 次が可換:

A  ⟶^{Δ}  A ⊗ A
↓^{Δ}  ↓^{id⊗Δ}
A ⊗ A ⟶^{Δ⊗id} A ⊗ A ⊗ A

(2) 次も可換:

[figure: k ⊗ A; ε⊗id; A ⊗ A; id⊗ε; A ⊗ k; ∼; Δ; A; ∼]

(3) a ∈ A に対して Δ(a) = ∑ a_{1} ⊗ a_{2} と書くとき, ∑ S(a_{1})a_{2} = ∑ a_{1}S(a_{2}) = ε(a) (^{∀}a ∈ A).

\underline{例.} (affine group scheme の座標環) A が可換 Hopf 代数のとき, 𝔾 = Spec A として, Δ, ε, S に対応する scheme morphism Δ^{∗} : 𝔾 × 𝔾 → 𝔾, ε^{∗} : {1} → 𝔾, S^{∗} : 𝔾 → 𝔾 を考えて可換図式を書き換えてみると, これらがそれぞれ群の積, 単位元, 逆元を与える morphism として群の公理を満たしていることがわかる. affine group scheme と可換 Hopf 代数とは同等な概念である. \underline{例.} (余可換な Hopf 代数の代表例) Hopf 代数 A が, ∑ a_{1} ⊗ a_{2} = ∑ a_{2} ⊗ a_{1} (^{∀}a ∈ A) を満たすとき, 余可換という. (A が可換かつ余可換なら Spec A は abelian group scheme となる.)

(1) G を任意の群, A = kG (群環) とし, Δ, ε, S を g ∈ G に対して Δ(g) = g ⊗ g, ε(g) = 1, S(g) = g^{−1} となるように定めると, A は余可換な Hopf 代数になる. (特に G = ℤ のとき, A は定数係数の差分作用素環と同一視できる.)

(2) 𝔤 を任意の Lie 環, A = U(𝔤) とし, Δ, ε, S を h ∈ 𝔤 に対して Δ(h) = 1 ⊗ h + h ⊗ 1, ε(h) = 0, S(h) = −h となるように定めると, A は余可換な Hopf 代数になる.

2.2. 作用素の環

D : 余可換な Hopf algebra

A が (左) D-加群代数 :⇔ \{ \begin{matrix}A は algebra, \\ (左) D-加群構造 D ⊗_{k} A → A, \\ d(ab) = ∑(d_{1}a)(d_{2}b), d · 1 = ε(d)1 \\ for ^{∀}d ∈ D, ^{∀}a, b ∈ A. \end{matrix}

V を D-加群とするとき,

V^{D} := {v ∈ V | dv = ε(d)v (^{∀}d ∈ D)}

を V の constants と呼ぶ. \underline{例.} (1) ch(k) = 0, D = k[∂] Δ(∂) = ∂ ⊗ 1 + 1 ⊗ ∂, ε(∂) = 0, S(∂) = −∂ このとき, A が可換 D-加群代数 ⇔ A は微分代数. 実際, A が D-加群代数なら,

∂(ab) = (∂a)b + a(∂b) (a, b ∈ A).

(2) D = k[τ, τ^{−1}] Δ(τ) = τ ⊗ τ, ε(τ) = 1, S(τ) = τ^{−1} このとき, A が可換 D-加群代数 ⇔ A は差分代数.

(3) D = ⨁_{n≥0}k∂^{(n)}, ∂^{(n)}∂^{(m)} = ( \begin{matrix}n + m \\ n \end{matrix} ) ∂^{(n+m)},

Δ(∂^{(n)}) = ∑_{i+j=n}∂^{(i)} ⊗ ∂^{(j)}, ε(∂^{(n)}) = \{ \begin{matrix}1 & (n = 0) \\ 0 & (n > 0), \end{matrix}

S(∂^{(n)}) = (−1)^{n}∂^{(n)} A を可換 D-加群代数とすると, {∂^{(n)}} は A に higher derivation として作用

\underline{仮定.}

(i) D は pointed (⇒ D = D^{1}#kG).

ここで, \{ \begin{matrix}D^{1} は 1 を含む D の irreducible component, \\ G = G(D) : grouplike elements からなる群 \end{matrix}

※ g ∈ D が groupline :⇔ Δ(g) = g ⊗ g, ε(g) = 1. (ii) D^{1} は Birkhoff-Witt bialgebra (higher derivation を一般化したようなもの) になっている.

k が標数 0 の代数閉体ならばこれらは常に成立する.

2.3. アルチン単純 (AS) D-加群代数

以下, D-加群代数はすべて可換代数とする. \underline{定義.} K : D-加群代数のとき,

・ K が単純:⇔ K に non-trivial な D-stable ideal が存在しない
(⇔ K が_{K#D}M の simple object).

・ K がアルチン単純 (AS) :⇔ K がアルチン環かつ単純.

\underline{命題.} K が AS D-加群代数のとき,

(1) K^{D} は体.

(2) K = ∏_{g∈G/G_{1}}K_{g} (体の直積), 各 K_{g} はすべて体同型.

ここで, G = G(D) は D の grouplike element 全体からなる群で, G_{1} は, K の素 ideal P を一つ fix したときに G_{1} = {g ∈ G|gP = P } により定まる G の部分群. このとき [G : G_{1}] < ∞.

2.4. PV 拡大と Galois 対応

\underline{定義.} (1) L/K : AS D-加群代数の拡大が PV 拡大とは, (i) L^{D} = K^{D},

(ii) L ⊃ ^{∃}A : 部分 D-加群代数
s.t. \{ \begin{matrix}A ⊃ K, \\ L は A の total quotient ring, \\ A ⊗_{K} A = A · (A ⊗_{K} A)^{D} \end{matrix}

(A ⊗ A の D-加群構造は d(a ⊗ b) = ∑ d_{1}a ⊗ d_{2}b により入れる.) ※ L/K が PV 拡大のとき, 上記の A は L/K に対して一意的に定まる. (van der Put-Singer の用語ではこの A は “Picard-Vessiot ring” にあたる.) ※従来の意味での PV 拡大は, こちらの意味では finitely generated (後述) な PV 拡大と同値な概念となる. 無限個の PV 拡大たちの inductive limit をとっても上記の定義を満たすので, 例えば universal PV 拡大なども我々の意味では PV 拡大の範疇に含まれる.

\underline{定理.} (Galois 対応) L/K : PV 拡大のとき, H = (A ⊗_{K} A)^{D} が K^{D} 上の可換 Hopf 代数の構造をもち,

{ 中間 AS D-加群代数} ↔^{1:1} {H ⊃ I Hopf ideal} (↔^{1:1} {Spec H の closed subgroup scheme})

𝔾(L/K) := Spec H を PV group scheme と呼ぶ. ※ group functor として, 𝔾(L/K) ≃ \underline{Aut}_{D}(A/K)

\underline{Aut}_{D}(A/K) : T ↦ Aut_{D}(T ⊗_{K^{D}} A/T ⊗_{K^{D}} K)

(T : 可換 K^{D}-algebra).

特に, 𝔾(L/K)(K^{D}) = Aut_{D}(A/K) = Aut_{D}(L/K).

※ L/K が finitely generated ⇔ A が有限生成 K-algebra ⇔ H が有限生成 K^{D}-algebra ⇔ 𝔾(L/K) が algebraic.

3. 今回のポイント

☆対象を AS D-加群代数の拡大にする.

Liouville 拡大の定義において, 条件 (b), (c) はわりと素直に拡張できる.

(a) がやや問題だが, 「有限次代数拡大」を「環の (finite)

separable 拡大」にすれば OK

☆代数群でなく affine group scheme を使う.

正標数の PV 理論では non-reduced な group scheme も Galois 群として出てくる (𝔾(L/K) = α_{p} となる PV 拡大などが実際にある) ので, 代数群の枠組では不完全. ところが, Lie-Kolchin の三角化可能定理が affine group scheme では一般には成立しないという問題がある (可解性定理で書いた (iii)(iv)(v) が同値にならない). →(v) に相当する条件を満たすものを “Liouville group scheme” と呼ぶことにして, 可解性や三角化可能性と比較してどれくらい強いのかを調べた.

結論としては, connected algebraic affine group scheme に関して

{ 三角化可能 } ⊊ {Liouville} ⊂ { 可解 }

という関係で, 代数閉体上ならば {Liouville}={可解} となる (一般には ≠). \underline{例.} anisotropic torus は可解だが Liouville でない (ただし, base field を代数閉体に拡張すれば対角化可能になって Liouville). ※例えば sin x, cos x は ℝ 上では Liouville でないが, 定数体を ℂ に拡張すれば Liouville になる, ・・・という立場. \underline{例.} k = 𝔽̄_{2} とし, SL_{2} の closed subgroup scheme 𝔾 を, 可換 k-algebra T に対して

𝔾(T) = \{( \begin{matrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(T) | \begin{matrix}x_{11}^{2} = 1, & x_{22}^{2} = 1, \\ x_{12}^{2} = 0, & x_{21}^{2} = 0 \end{matrix} \}

として定めると, 𝔾 は connected Liouville だが三角化可能でない.

4. AS D-加群代数の Liouville 拡大

4.1. (a)(b)(c) に相当する拡大

\underline{定義.} L/K を AS D-加群代数の拡大とする.

(a) L/K が finite etale :⇔ L が separable K-代数.

(b) x ∈ L が K 上 primitive :⇔ dx ∈ K (^{∀}d ∈ D^{+} = Ker ε).

(c) x ∈ L が K 上 exponential :⇔ x ∈ L^{×} かつ (dx)x^{−1} ∈ K (^{∀}d ∈ D).

L/K を AS D-加群代数の拡大とするとき, x_{1}, …, x_{n} ∈ L に対し, K と x_{1}, …, x_{n} を含む最小の部分 AS D-加群代数 in L を K⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ と書く. 特に, 有限個の x_{1}, …, x_{n} によって L = K⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ と書けるとき, L/K は finitely generated であるという.

\underline{命題.} L/K が finitely generated PV 拡大のとき,

(a) 𝔾(L/K)^{∘} に対応する中間 AS D-加群代数は L の (finite) separable K-subalgebra のうち最大のものと一致する. 特に,

L/K が finite etale ⇔ 𝔾(L/K) が finite etale.

(b) L = K⟨x⟩, x は K 上 primitive ⇔ 𝔾(L/K) ↪ 𝔾_{a}.

(c) L = K⟨x⟩, x は K 上 exponential ⇔ 𝔾(L/K) ↪ 𝔾_{m}.

\underline{定義.} L/K を finitely generated な AS D-加群代数の拡大とする. L/K が\underline{Liouville 拡大}とは, L^{D} = K^{D} かつ中間 AS D-加群代数の列 K = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ⋯ ⊂ L_{r} = L があって各 L_{i}/L_{i−1} (i = 1, …, r) が次のいずれかの形をしていることをいう:

(a) finite etale,

(b) L_{i} = L_{i−1}⟨x⟩, x は L_{i−1} 上 primitive,

(c) L_{i} = L_{i−1}⟨x⟩, x は L_{i−1} 上 exponential.

4.2. Liouville group schemes

\underline{定義.} 𝔾 を algebraic affine group scheme とする. ある closed subgroup schemes の normal chain

𝔾 = 𝔾_{0} ▷ 𝔾_{1} ▷ ⋯ ▷ 𝔾_{r} = {1}

があって, 各 G_{i}/G_{i−1} (i = 1, …, r) が・ finite etale, ・ 𝔾_{a} の closed subgroup scheme, ・ 𝔾_{m} の closed subgroup scheme,

のいずれかであるとき, 𝔾 は Liouville であるという. \underline{命題.} 𝔾 を algebraic affine group scheme とする.

(1) 𝔾 が Liouville ⇔ 𝔾^{∘} が Liouville.

(2) 𝔾 が connected Liouville ⇒ 𝔾 は可解.

(3) 代数閉体上では, 𝔾 が Liouville ⇔ 𝔾^{∘} が可解.

4.3. 可解性定理

\underline{定理.} L/K を AS D-加群代数の PV 拡大とすると, 次は同値:

(i) L/K が Liouville 拡大. (ii) ある Liouville 拡大 L̃/K が存在して L ⊂ L̃. (iii) 𝔾(L/K) が Liouville. もし K^{D} が代数閉体ならば, 上記はさらに次とも同値: (iv) 𝔾(L/K)^{∘} が可解.