D-加群代数の Picard-Vessiot 理論

2008 年 12 月 18 日, 筑波大学数学系談話会天野勝利 (筑波大学数理物質科学研究科)

\underline{概略}

1. Picard-Vessiot 理論とは？ (線形常微分, 差分類似)

2. Hopf 代数とは？

3. D-加群代数の PV 理論 (A. and 増岡)

1. Picard-Vessiot 理論とは？

1.1. 線形常微分 PV 理論

(A, ∂) が differential ring :⇔ \{ \begin{matrix}A : comm. ring, \\ ∂ : A → A additive, \\ ∂(ab) = ∂(a)b + a∂(b) \\ for ^{∀}a, b ∈ A. \end{matrix}

A^{∂} := {a ∈ A | ∂(a) = 0} 定数環 (constants) \underline{例.} K = ℝ(x), ∂ = \frac{d}{dx} ⇒ K は differential field. K 上で線形常微分方程式 (∂^{2} + 1)y = 0 (y は未知関数) を考える.

解空間  splitting field
ℝ sin x + ℝ cos x ↪ ℝ(x, sin x, cos x) =: L

⇒ L/K は PV 拡大 (Galois 拡大に相当する概念). 微分 Galois 群

\begin{aligned}G(L/K) & := & Aut_{∂}(L/K) \\ & = & \{g : L → L (K 上 auto.) | g ∘ ∂ = ∂ ∘ g\}. \end{aligned}

一般に, 微分 Galois 群は定数体 (この場合 L^{∂} = K^{∂} = ℝ) 上の代数群の構造をもつ.

この場合 G(L/K) ≃ ℝ/2πℤ (circle group).

\begin{aligned}& g \\ θ \end{aligned}  g : sin x ↦ sin(x + θ) cos x ↦ cos(x + θ)

Galois 対応

(中間 differential fields)  (closed subgroups) L ℝ(x, sin(nx), cos(nx)) K  ⟷ ⟷ ⟷  \{1\} \frac{2π}{n}ℤ/2πℤ (円の n 等分点) G(L/K)

\underline{例.} K = ℂ(x), ∂ = \frac{d}{dx}

(x(1 − x)∂^{2} + (γ − (α + β + 1)x)∂ − αβ)y = 0

α = β = \frac{1}{2}, γ = −\frac{1}{2}

y_{1} = (x − \frac{1}{2})(x − 1)^{−\frac{3}{2}},

y_{2} = y_{1}w, w = ∫ (x − \frac{1}{2})^{−2}(x − 1)^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}dx

解空間  splitting field
ℂy_{1} + ℂy_{2} ↪ ℂ(\sqrt{x − 1}, \sqrt{x}, w) =: L

⇒ L/K は PV 拡大

G(L/K) ≃ \{g = ( \begin{matrix}c_{1} & c_{3} \\ 0 & c_{2} \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(ℂ) | \begin{matrix}c_{1}^{2} = 1 \\ c_{2}^{2} = 1 \end{matrix} \}

g : \begin{matrix}\sqrt{x − 1} & ↦ & c_{1}\sqrt{x − 1} \\ \sqrt{x} & ↦ & c_{2}\sqrt{x} \\ w & ↦ & c_{1}c_{2}w + c_{1}c_{3} \end{matrix}

1.2. 差分 PV 理論 (van der Put-Singer, 1997)

(A, τ) が difference ring :⇔ \{ \begin{matrix}A : comm. ring, \\ τ : A → A ring auto. \end{matrix}

A^{τ} := {a ∈ A | τ (a) = a} 定数環 (constants) \underline{例.} K = ℂ(s), τ : f(s) ↦ f(s + 1) とする. K 上で線形常差分方程式 (τ − s)y = 0 (y は未知関数) を考える.

解空間 splitting field ℂΓ(s) ↪ ℂ(s, Γ(s)) =: L ⇒ L/K は PV 拡大.

差分 Galois 群

\begin{aligned}G(L/K) & := & Aut_{τ}(L/K) \\ & = & \{g : L → L (K 上 auto.) | g ∘ τ = τ ∘ g\}. \end{aligned}

この場合, G(L/K) ≃ 𝔾_{m}(ℂ) = ℂ^{×}.

ℂ^{×} ∋ c : Γ(s) ↦ cΓ(s).

しかし, 今の例のように「差分体の拡大」ではうまくいかないことがある (次の例)

\underline{例.} K = ℂ, τ = id_{K} とする. Fibonacci 漸化式 a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} を考える (τ : a_{n} ↦ a_{n+1}).

α = \{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}\} , β = \{(\frac{1−\sqrt{5}}{2})^{n}\} ∈ (数列の環) とすれば, 2 次元の解空間 ℂα + ℂβ を得る. しかし, この解空間を含む difference field は存在しない: αβ = {(−1)^{n}}, (αβ + 1)(αβ − 1) = (αβ)^{2} − 1 = 0.

そこで, 零因子を許した difference algebra を使って PV 拡大を構成する.

L = ℂ(α) × ℂ(α) ∋ (a, b), τ (a, b) = (τ b, τ a).

すると,

ℂα + ℂβ ↪ L
α ↦ (α, α)
β ↦ (α^{−1}, −α^{−1}).

G(L/K) := Aut_{τ}(L/K) ≃ 𝔾_{m}(ℂ) × ℤ/2ℤ.

Galois 対応

(良い性質を満たす中間 difference algebra)  (closed subgroups) L ℂ × ℂ K  ⟷ ⟷ ⟷  {1} 𝔾_{m}(ℂ) G(L/K)

\underline{要求.} (1) 微分・差分作用素を統一的に扱いたい

→\underline{余可換な Hopf 代数 D}

(2) 上記の L/(ℂ × ℂ) も PV 拡大と呼びたい, etc. それには, L や ℂ × ℂ のような, 体ではないがそれに準ずるような良い algebra のクラスを定式化したい.

→\underline{アルチン単純 (AS) D-加群代数}

2. Hopf 代数とは？

k を体とし, 以下すべて k 上で考える. A : algebra と algebra map Δ : A → A ⊗_{k} A, ε : A → k と anti-algebra map S : A → A があって, 次の (1)–(3) を満たすとき, (A, Δ, ε, S) を Hopf 代数という.

(1) 次が可換:

A  ⟶^{Δ}  A ⊗ A
↓^{Δ}  ↓^{id⊗Δ}
A ⊗ A ⟶^{Δ⊗id} A ⊗ A ⊗ A

(2) 次も可換:

[figure: k ⊗ A; ε⊗id; A ⊗ A; id⊗ε; A ⊗ k; ∼; Δ; A; ∼]

(3) a ∈ A に対して Δ(a) = ∑ a_{1} ⊗ a_{2} と書くとき, ∑ S(a_{1})a_{2} = ∑ a_{1}S(a_{2}) = ε(a) (^{∀}a ∈ A). ※ Δ(a) = ∑ a_{1} ⊗ a_{2} という記法は sigma notation と呼ばれ, よく用いられる.

※ Δ は余積 (coproduct), ε は余単位射 (counit), S

は antipode と呼ばれる.

\underline{例.} (affine group scheme の座標環) A が可換 Hopf 代数のとき, 𝔾 = Spec A として, Δ, ε, S に対応する scheme morphism Δ^{∗} : 𝔾 × 𝔾 → 𝔾, ε^{∗} : {1} → 𝔾, S^{∗} : 𝔾 → 𝔾 を考えて可換図式を書き換えてみると, これらがそれぞれ群の積, 単位元, 逆元を与える morphism として群の公理を満たしていることがわかる. だから, affine group scheme と可換 Hopf 代数とは同等な概念である. \underline{例.} (余可換な Hopf 代数の代表例) Hopf 代数 A が, ∑ a_{1} ⊗ a_{2} = ∑ a_{2} ⊗ a_{1} (^{∀}a ∈ A) を満たすとき, 余可換という. (A が可換かつ余可換なら Spec A は abelian group scheme となる.)

(1) G : 任意の群, A = kG (群環) とし, Δ, ε, S を g ∈ G に対して Δ(g) = g ⊗ g, ε(g) = 1, S(g) = g^{−1} となるように定めると, A は余可換な Hopf 代数になる. (特に G = ℤ のとき, A は定数係数の差分作用素環と同一視できる.)

(2) 𝔤 : 任意の Lie 環, A = U(𝔤) とし, Δ, ε, S を h ∈ 𝔤 に対して Δ(h) = 1 ⊗ h + h ⊗ 1, ε(h) = 0, S(h) = −h となるように定めると, A は余可換な Hopf 代数になる.

3. D-加群代数の PV 理論

3.1. 作用素の環

k : base field (以下すべて k 上で考える) D : 余可換な Hopf algebra

A が (左) D-加群代数 :⇔ \{ \begin{matrix}A は algebra, \\ (左) D-加群構造 D ⊗_{k} A → A, \\ d(ab) = ∑(d_{1}a)(d_{2}b), d · 1 = ε(d)1 \\ for ^{∀}d ∈ D, ^{∀}a, b ∈ A. \end{matrix}

このとき A⊗_{k} D に次のような semi-direct な積を入れて algebra とみたものを A#D と書いて, smash 積と呼ぶ:

(a ⊗ d) · (a′ ⊗ d′) = ∑ a(d_{1}a′) ⊗ d_{2}d′.

以下, A#D の元を a#d のように書くことがある. V を D-加群とするとき,

V^{D} := {v ∈ V | dv = ε(d)v (^{∀}d ∈ D)}

を V の constants と呼ぶ.

\underline{例.} (1) ch(k) = 0, D = k[∂] Δ(∂) = ∂ ⊗ 1 + 1 ⊗ ∂, ε(∂) = 0, S(∂) = −∂ このとき, A が可換 D-加群代数 ⇔ A は differential algebra. 実際, A が D-加群代数なら,

∂(ab) = (∂a)b + a(∂b) (a, b ∈ A).

さらに, 例えば A = k[x] (多項式環), ∂f = \frac{df}{dx} のとき, A#D はいわゆる Weyl 代数 (多項式係数の線形微分作用素環) と同じものになる. 一般に, K が可換 D-加群代数なら,

K#D = “K 係数の線形微分作用素環”

と思える.

(2) D = k[τ, τ^{−1}] Δ(τ) = τ ⊗ τ, ε(τ) = 1, S(τ) = τ^{−1} このとき, A が可換 D-加群代数 ⇔ A は difference algebra. 実際, A が D-加群代数なら,

τ (ab) = (τ a)(τ b) (a, b ∈ A).

\underline{テンソル積について.} K : 可換 D-加群代数のとき, _{K#D}M を K#D-加群の圏とすると, V, W ∈ _{K#D}M に対し, V ⊗_{K} W に

(a#d)(v ⊗ w) = a ∑ d_{1}v ⊗ d_{2}w

によって K#D-加群構造を入れることができ, V ⊗_{K} W ∈ K#DM となる. これにより (_{K#D}M, ⊗_{K}) は (symmetric) tensor category になる.

\underline{仮定.} 次の節に進む前に次を仮定しておく.

(i) D は pointed (⇒ D = D^{1}#kG).

ここで, \{ \begin{matrix}D^{1} は 1 を含む D の irreducible component, \\ G = G(D) : grouplike elements からなる群 \end{matrix}

(ii) D^{1} は Birkhoff-Witt bialgebra (higher derivation を一般化したようなもの) になっている.

なお, k が標数 0 の代数閉体ならばこれらは常に成立す

る.

3.2. アルチン単純 (AS) D-加群代数

以下, D-加群代数はすべて可換代数とする. \underline{定義.} K : D-加群代数のとき,

・ K が単純:⇔ K に non-trivial な D-stable ideal が存在しない
(⇔ K が_{K#D}M の simple object).

・ K がアルチン単純 (AS) :⇔ K がアルチン環かつ単純.

\underline{命題.} K が AS D-加群代数のとき,

(1) K^{D} は体.

(2) K = ∏_{g∈G/G_{1}} K_{g} (体の直積), 各 K_{g} はすべて体同型. ここで, G = G(D) は D の grouplike element 全体からなる群で, G_{1} は, K の素 ideal P を一つ fix したときに G_{1} = {g ∈ G|gP = P } により定まる G の部分群. このとき [G : G_{1}] < ∞.

(3) D(G_{1}) := D^{1}#kG_{1}, K_{1} = K_{1G_{1}} とすると,

K_{1}#D(G_{1})M ⟶^{≈} _{K#D}M (Abel 圏同値).

特に, ^{∀}V ∈ _{K#D}M は自由 K-加群. 例えば, (3) により §2 の (ℂ(α) × ℂ(α))/(ℂ × ℂ) を ℂ(α)/ℂ と同一視できる. (G ≃ ℤ, G_{1} ≃ 2ℤ.)

3.3. PV 拡大と splitting algebra

\underline{定義.} (1) L/K : AS D-加群代数の拡大が PV 拡大とは, (a) L^{D} = K^{D},

(b) L ⊃ ^{∃}A : 部分 D-加群代数
s.t. \{ \begin{matrix}A ⊃ K, \\ L は A の total quotient ring, \\ A ⊗_{K} A = A · (A ⊗_{K} A)^{D} \end{matrix}

※このとき, 上記の A は L/K に対して一意的.

(2) K : AS D-加群代数, V ∈ _{K#D}M, _{K}V < ∞ とする. L が V の (minimal) splitting algebra とは,

L は K を含む AS D-加群代数,

dim_{L^{D}} Hom_{K#D}(V, L) = rank_{K}V ,

L の真部分 AS D-加群代数で上記２条件を満たすものはない.

※ Hom_{K#D}(V, L) は L の中における V の解全体を表しており, その L^{D} 上の次元が V の rank と一致するということは, L が V の解を十分多く含んでいるという意味をもつ.

3.4. 主結果

(I) \underline{Galois 対応.} L/K : PV 拡大のとき, H = (A ⊗_{K} A)^{D} が K^{D} 上の可換 Hopf 代数の構造をもち,

{ 中間 AS D-加群代数} ↔^{1:1} {H ⊃ I Hopf ideal} (↔^{1:1} {𝔾 = Spec H の closed subgroup scheme})

(II) \underline{splitting algebra の存在性と一意性.} K : AS D-加群代数 V : K#D-加群 (⇒ 自由 K-加群) K^{D} が代数閉体, rank_{K}V < ∞ のとき, V の splitting algebra L で, L/K が PV 拡大になるものが一意的に存在する.

(III) \underline{圏同値.} rank_{K}V < ∞ のとき, V の splitting algebra L で, L/K が PV 拡大になるものが存在すれば,

{{V }} ≈ Rep 𝔾.

ここで, {{V }} は V と V^{∨} = Hom_{K}(V, K) で “生成される” (_{K#D}M, ⊗_{K}) の abelian tensor subcategory.

(IV) \underline{PV 拡大の特徴づけ.} L/K を AS D-加群代数の拡大 s.t. L^{D} = K^{D} とするとき,

L/K がある V ∈ _{K#D}M の splitting algebra ⇔ L/K が (有限生成) PV 拡大.

ちなみに, 最初の三角関数の例での A や H にあたるものは次の通り. L = ℝ(x, sin x, cos x) ⊃ A = ℝ(x)[sin x, cos x] ⊃ K = ℝ(x), H = (A ⊗_{K} A)^{∂} = ℝ[s, c], ただし,

s = (sin x) ⊗ (cos x) − (cos x) ⊗ (sin x),
c = (cos x) ⊗ (cos x) + (sin x) ⊗ (sin x),
Δ(s) = s ⊗ c + c ⊗ s, Δ(c) = c ⊗ c − s ⊗ s,
ε(s) = 0, ε(c) = 1
S(s) = −s, S(c) = c